കൃത്യങ്കങ്ങൾ, കരണികൾ ആവർത്തിച്ചുവരുന്ന ഗുണനക്രിയ ചുരുക്കി.എഴുതുന്ന രീതിയാണ് കൃത്യങ്കങ്ങൾ. 4x4x4x4×4=4^5 a^3=a×a×a ഇതിൽ a എന്ന സംഖ്യയെ 'പാദം' എന്നും 3 എന്ന സംഖ്യയെ 'കൃതി' എന്നും പറയുന്നു. കൃത്യങ്ക സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കാനും ഹരിക്കാനുമുള്ള എളുപ്പവഴികൾ
1. പാദം തുല്യമായ കൃത്യങ്കങ്ങൾ ഗുണിക്കുമ്പോൾ അവയുടെ കൃതികൾ തമ്മിൽ കൂട്ടിക്കിട്ടുന്ന സംഖ്യ കൃതിയായി കൃത്യങ്കരൂപം  എഴുതുക.  X^m × X^n=X^m+n
2. ഹരിക്കുമ്പോൾ കൃതികൾ കുറക്കണം  X^m / X^n=X^m-n
3. (X^a)^b=X^ab
4.X^a x Y^a =(XY)^a ഇവിടെ പാദം തുല്യമല്ല. എന്നാൽ കൃതികൾ തുല്യമാണ് എന്ന് ശ്രദ്ധിക്കുക
5.X^a/Y^a = (X/Y)^a
6.ഏതൊരു സംഖ്യയുടെയും കൃതി പൂജ്യമായാൽ അതിന്റെ മൂല്യം '1' ആണ്. അതായത്  X^0=1
7.  1 എന്ന സംഖ്യയെ എത്ര പ്രാവശ്യം ഗുണിച്ചാലും  ഉത്തരം '1' തന്നെ. അതായത് 1^n=1
8.1/X^a =(X^0)/(X^a)=(X^0-a)=(X^-a)  അതായത് 1/(X^a)=(X^-a)
9.(X^n)/(Y^n)=(X/Y)^n  
Ans:  ഒരേ സംഖ്യയെ രണ്ടു പ്രാവശ്യം ഗുണിച്ചാൽ കിട്ടുന്ന സംഖ്യയെ ആദ്യത്തെ സംഖ്യയുടെ 'വർഗം' എന്ന് പറയുന്നു. ആദ്യത്തെ സംഖ്യയെ  ഗുണനഫലമായി  കിട്ടിയ സംഖ്യയുടെ വർഗമൂലം എന്ന് പറയുന്നു   ഉദാ: 5^2 =5×5=25 ഇവിടെ 25 എന്നത് 5 ന്റെ വർഗമാണ്  25 ന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്  5 52=25 ന്റെ വർഗം 25 √25 =5      25ന്റെ വർഗ്ഗമൂലമാണ്  5 അല്ലെങ്കിൽ (25)^1/2=5
Ans: 6^3=6×6×6=216 root base 3 (216)=6 (216)^1/3 =6
Ans:  X^n=XxXxX....n പ്രാവിശ്യം ഇതിനെ y എന്ന് സൂചിപ്പിച്ചാൽ X^n =Y Root base n (Y)=X  അതായത്(Y)^1/n =X Root base n(a) ഒരു പൂർണ സംഖ്യ അല്ലാത്ത അവസരങ്ങളുണ്ട്  ഉദാ: √2 , root base 3 (5) Root base n(a) പൂർണ സംഖ്യ അല്ലാതെ വരുന്ന സംഖ്യകളാണ് കരണികൾ   Root base n(a) എന്ന കരണിയുടെ കൃത്യങ്കരൂപം ആണ്  (a)^1/n
Ans: കൃത്യങ്ക സംഖ്യകൾ ഗുണിക്കുമ്പോഴും ഹരികുമ്പോഴും മറ്റും ഉപയോഗിക്കുന്ന നിയമങ്ങൾ കരണികളുടെ കാര്യത്തിലും ബാധകമാണ്  1)  X^1/n x X^1/m  =X^((1/n)(1/m)) 2) (X^1/n)/(X^1/m)=X^(1/n-1/m) 3) (X^1/n)^1/m=X^(1/nx1/n) 4)root base n (X) x root base n (Y) = root base n (XY) 5). root base n (X)/root base n (Y))= root base n (X/Y) ഉദാ: 1) (2^p)^5=2^20    എങ്കിൽ p എത്ര ?
Ans:(2^p)^5=2^5P 2^5P=2^20 5^p=20  Ie       P=20/5=4 2) 5^35^35^35^35^3=5^P എങ്കിൽ p എത്ര ? 
Ans:5^ 3 5^ 3 5^ 3 5^ 3 5^3= 5×5^3=5^(13) = 5^4 . 5^4= 5^P      ie   p = 4 3)5^n=625       5^(n2)=? 5^(n2)=5^n x 5^2 = 625×25=15625 4) ax(a/8)x(a/125) = 1 എങ്കിൽ a എത്ര?
Ans: ax(a/8)x(a/125)=a^3/(2^3x5^3) =a^3/10^3=(a/10)^3 (a/10)^3=1  a/10=1 a=10 5) (3X^2)^3 =? (3X^2)^3 =(3^3) x (x^2)^3)=27X^6 6)(5^2x(125)^3x625)/(5^15)=? (5^2x(125)^3x625)/(5^15) =(5^2x(5^3)^3x5^4)/(5^15) =(5^2x5^9x5^4)/(5^15) =(5^(294)/(5^15)=5^15/5^15=1 7)3^(X-Y)=27,  3^(XY)=243 എങ്കിൽ xന്റെ വില എത്ര?
Ans:3^(X-Y)=27=3^3    X-Y=
3...(1) 3^(XY)=243=3^5 XY=
5....(2) (1),(2) എന്നീ സമവാക്യങ്ങൾ കൂട്ടുമ്പോൾ X-YXY=35 2X=8 X=8/2=4 8)a=(5)^48,  b=(5)^7 എന്നും   a^m=b^2 എന്നും തന്നിരിക്കുന്നു എങ്കിൽ m  എത്ര ?
Ans:a^m=b^2  (5^
0.48)^m=(5^
0.7)^2  5^(
0.48xm)=5^(
0.7x2)  
0.48m=
0.7x2  m=(
0.7x2)/
0.48=
1.4/
0.48=140/48=35/12=
2.9 9)root base 3(.000000125)=?   
Ans:.000000125=125/1000000=5^3/10^6  =5^3/(100)^3=(5/100)^3  =(
0.05)^3 root base(.000000125)
Ans:=((
0.05)^3)^1/3 =(
0.05)^(3x(1/3)) =
0.05 10) √35 x√210 =? √35=√7x5=√7x√5 √210=√7x5x2x3=√7x√5x√3x√2 √35=x√210=√7x√5x√7x√5x√2x√3 =√7x√7x√5x√5x√2x√3 =7x5x√6 =35√6 11)  (√5-√3)(√5√3)=? (a-b)(ab)=(a^2-b^2) (√5-√3)(√5√3)=(√5)^2-(√3)^2 =5-3=2 12) 15/(√7-√2)=? ചേരദത്തിൽ രണ്ട്.കരണികളുടെ തുകയോ വ്യത്യ സമോ വന്നാൽ അതിനെ പൂർണസംഖ്യയാക്കാൻ വേണ്ട കരണികൊണ്ട് അംശത്തെയും ഛേദത്തെ യും ഗുണിക്കുക. 15/(√7-√2) =(15(√7√2))/((√7-√2)(√7√2)) =15(√7√2)/7-2 =15(√7√2)/5 =3(√7√2)

---

Manglish Transcribe ↓

---

kruthyankangal, karanikal aavartthicchuvarunna gunanakriya churukki. Ezhuthunna reethiyaanu kruthyankangal. 4x4x4x4×4=4^5 a^3=a×a×a ithil a enna samkhyaye 'paadam' ennum 3 enna samkhyaye 'kruthi' ennum parayunnu. kruthyanka samkhyakal gunikkaanum harikkaanumulla eluppavazhikal
1. Paadam thulyamaaya kruthyankangal gunikkumpol avayude kruthikal thammil koottikkittunna samkhya kruthiyaayi kruthyankaroopam  ezhuthuka.  x^m × x^n=x^m+n
2. Harikkumpol kruthikal kurakkanam  x^m / x^n=x^m-n
3. (x^a)^b=x^ab
4. X^a x y^a =(xy)^a ivide paadam thulyamalla. Ennaal kruthikal thulyamaanu ennu shraddhikkuka
5. X^a/y^a = (x/y)^a
6. Ethoru samkhyayudeyum kruthi poojyamaayaal athinte moolyam '1' aanu. Athaayathu  x^0=1
7.  1 enna samkhyaye ethra praavashyam gunicchaalum  uttharam '1' thanne. Athaayathu 1^n=1
8. 1/x^a =(x^0)/(x^a)=(x^0-a)=(x^-a)  athaayathu 1/(x^a)=(x^-a)
9.(x^n)/(y^n)=(x/y)^n  
ans:  ore samkhyaye randu praavashyam gunicchaal kittunna samkhyaye aadyatthe samkhyayude 'vargam' ennu parayunnu. Aadyatthe samkhyaye  gunanaphalamaayi  kittiya samkhyayude vargamoolam ennu parayunnu   udaa: 5^2 =5×5=25 ivide 25 ennathu 5 nte vargamaanu  25 nte varggamoolamaanu  5 52=25 nte vargam 25 √25 =5      25nte varggamoolamaanu  5 allenkil (25)^1/2=5
ans: 6^3=6×6×6=216 root base 3 (216)=6 (216)^1/3 =6
ans:  x^n=xxxxx.... N praavishyam ithine y ennu soochippicchaal x^n =y root base n (y)=x  athaayathu(y)^1/n =x root base n(a) oru poorna samkhya allaattha avasarangalundu  udaa: √2 , root base 3 (5) root base n(a) poorna samkhya allaathe varunna samkhyakalaanu karanikal   root base n(a) enna karaniyude kruthyankaroopam aanu  (a)^1/n
ans: kruthyanka samkhyakal gunikkumpozhum harikumpozhum mattum upayogikkunna niyamangal karanikalude kaaryatthilum baadhakamaanu  1)  x^1/n x x^1/m  =x^((1/n)(1/m)) 2) (x^1/n)/(x^1/m)=x^(1/n-1/m) 3) (x^1/n)^1/m=x^(1/nx1/n) 4)root base n (x) x root base n (y) = root base n (xy) 5). Root base n (x)/root base n (y))= root base n (x/y) udaa: 1) (2^p)^5=2^20    enkil p ethra ?
ans:(2^p)^5=2^5p 2^5p=2^20 5^p=20  ie       p=20/5=4 2) 5^35^35^35^35^3=5^p enkil p ethra ? 
ans:5^ 3 5^ 3 5^ 3 5^ 3 5^3= 5×5^3=5^(13) = 5^4 . 5^4= 5^p      ie   p = 4 3)5^n=625       5^(n2)=? 5^(n2)=5^n x 5^2 = 625×25=15625 4) ax(a/8)x(a/125) = 1 enkil a ethra?
ans: ax(a/8)x(a/125)=a^3/(2^3x5^3) =a^3/10^3=(a/10)^3 (a/10)^3=1  a/10=1 a=10 5) (3x^2)^3 =? (3x^2)^3 =(3^3) x (x^2)^3)=27x^6 6)(5^2x(125)^3x625)/(5^15)=? (5^2x(125)^3x625)/(5^15) =(5^2x(5^3)^3x5^4)/(5^15) =(5^2x5^9x5^4)/(5^15) =(5^(294)/(5^15)=5^15/5^15=1 7)3^(x-y)=27,  3^(xy)=243 enkil xnte vila ethra?
ans:3^(x-y)=27=3^3    x-y=
3...(1) 3^(xy)=243=3^5 xy=
5....(2) (1),(2) ennee samavaakyangal koottumpol x-yxy=35 2x=8 x=8/2=4 8)a=(5)^48,  b=(5)^7 ennum   a^m=b^2 ennum thannirikkunnu enkil m  ethra ?
ans:a^m=b^2  (5^
0. 48)^m=(5^
0. 7)^2  5^(
0. 48xm)=5^(
0. 7x2)  
0. 48m=
0. 7x2  m=(
0. 7x2)/
0. 48=
1. 4/
0. 48=140/48=35/12=
2. 9 9)root base 3(. 000000125)=?   
ans:. 000000125=125/1000000=5^3/10^6  =5^3/(100)^3=(5/100)^3  =(
0. 05)^3 root base(. 000000125)
ans:=((
0. 05)^3)^1/3 =(
0. 05)^(3x(1/3)) =
0. 05 10) √35 x√210 =? √35=√7x5=√7x√5 √210=√7x5x2x3=√7x√5x√3x√2 √35=x√210=√7x√5x√7x√5x√2x√3 =√7x√7x√5x√5x√2x√3 =7x5x√6 =35√6 11)  (√5-√3)(√5√3)=? (a-b)(ab)=(a^2-b^2) (√5-√3)(√5√3)=(√5)^2-(√3)^2 =5-3=2 12) 15/(√7-√2)=? cheradatthil randu. Karanikalude thukayo vyathya samo vannaal athine poornasamkhyayaakkaan venda karanikondu amshattheyum chhedatthe yum gunikkuka. 15/(√7-√2) =(15(√7√2))/((√7-√2)(√7√2)) =15(√7√2)/7-2 =15(√7√2)/5 =3(√7√2)