ഗണിതശാസ്ത്രം (സർവ്വ സമവാക്യങ്ങൾ (Identities) 3

സർവ്വ സമവാക്യങ്ങൾ (Identities)

സൂത്രവാക്യങ്ങൾ 


1.(ab)^2  = a^2  b^2  2ab

2.(a-b)^2  = a^2b^2 - 2ab

3.(ab)^2-(a-b)^2 = 4ab

4.(ab)^2(a-b)^2 = 2 (a^2b^2)

5.a^2 - b^2 = (ab) (ab)

6.a^2  b^2 = ½[(ab)^2(a-b)^2]

7.1/a  1/b = ab/ab

8.(ab)^3 = a^3 - 3a^2b3ab^2  b^3

9.(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b3ab^2 - b^3

10.(ab)^3(a-b)^3=2a^3  6ab^2

11.a^3 b^3 = (ab) (a^2 - ab  b^2)

12.a^3 - b^3 = (a-b) (a^2abb^2)

13.(ab)^4 = a^44a^3b6a^2b^24ab^3b^4

14.(a-b)^4 = a^4-4a^3b6a^2b^2- 4ab^3b^4

15.a^41/a^4 = (a^2  1/a^2)^2 - 2

16.a^41/a^4 = (a^2 - 1/a^2)^2  2

17.a^31/a^3 = (a1/a)^3 -3(a1/a)

18.a^3 - 1/a^3 =(a-1/a)^3  3(a-1/a)

19.a^2  1/a^2 = (a  1/a)^2 -2

20.a^2  1/a^2 = (a - 1/a)^2 2

21.a (bc) = ab  ac

22.(ab) (cd) = ac  ad bcbd

23.(ab) (ac) = a^2  a (bc)bc

മാതൃകാചോദ്യങ്ങൾ


1.
(2x3y)^2 എന്നതിന്റെ വിപുലീകരണത്തിൽ എത്ര പദങ്ങൾ ഉണ്ടായിരിക്കും ?
(a) 1               (b)2             (c )3              (d) 4  ഉത്തരം: (c ) (2x 3y)^2 = 4x^212xy 9y^2

2.
(2a-3b)2 എന്നതിന്റെ വിപുലീകരണത്തിൽ ab യുടെ ഗുണോത്തരം എത്ര ? 
(a) 6          (b) -6         (c ) 12            (d) -12  ഉത്തരം: (d) (2a-3b)^2 = 4a2-12ab  ab2

3.
(x1)^2നെ വിപുലീകരിക്കുക.
(a)x^2 1^2               (b)x^2  1 (c )x^2 - 2x 1            (d)x^22x  1 ഉത്തരം: (d) (ab)^2  = a^2  2ab  b^2 ... (x  1)^2 = x^2  2
*x
*11^2
=x^2  2x  1

4.
ലഘുകരിക്കുക. 

3.12 X
3.12  
6.24 x
6.88  688 х
6.88 
(a) 100         (b) 10         (c )
10.10        (d)
100.10 
ഉത്തരം: (a)  (
3.12)^2  2 x
3.12 x
6.88  (
6.88)^2 
=(312688)^2=(10)^2 = 100

5 .
a  b = 7,ab  = 5 ആയാൽ  a^2  b^2 എത്ര ?
(a)49          (b)59        (c )39        (d)10 ഉത്തരം: (c)  (a b)^2 = a2b^2 2ab  (7)^2 =  a2  b2  2
* 5
49 = a2  b^2  10               a^2b^2 = 49 -10 = 39

6.
a^2 b^2 = 37, ab = 6 ആയാൽ  abഎത്ര ?
(a) 49            (b)7              (c ) 5         (d)10      ഉത്തരം: (b)  (ab)^2 = a^2  b^22ab              = 37  2
*6
             = 37  12 (ab)^2 =  49

7.
ab =       = 7
ഉത്തരം: (c ) (ab)^2 = a^2b^2 2ab (12)^2 = 902ab 144 = 90 2ab 2ab = 144 - 90 2ab = 54 ab = 54/2 = 27

8.
( ) (- )  ലഘൂകരിക്കുക.
(a)2        (b)5       (c )3         (d) ഉത്തരം: (a)    (ab) (a-b) = a^2 - b^2 (  ) (- ) = )^2 - ()^2                                         = 5 - 3 = 2

9.
25
*25 - 15
*15 / (25  15 ) ലഘൂകരിക്കുക.
(a) 25         (b)15        (c )10       (d)20 ഉത്തരം: (c ) a^2 - b^2 /ab     = (ab) (a - b)/(a  b)                           = a -b                           = 25 - 15 = 10

10.
രണ്ട് സംഖ്യകളുടെ തുക ഗുണനഫലം ആയാൽ സംഖ്യകളുടെ വ്യുൽ ക്രമങ്ങളുടെ തുക എത്ര ?
(a)½           (b)⅔         (c )⅓              (d)¼ ഉത്തരം : (b) 1/a  1/b  = a  b/ab = 20/30 = ⅔

11.
ലഘൂകരിക്കുക.

2.02
*
2.02
*
2.02-
0.02 -
0.02
*
0.02
*
0.02/
2.02
*
2.
020.02
*
2.
020.02
*
0.02
ഉത്തരം : (c ) a^3 - b^3/a^2  ab  b^2 = (a - b) (a^2 ab  b^2)/(a^2  ab  b^2) = a - b =
2.02 -
0.02  = 2

12.
a1/a = 3 ആയാൽ a^2 1/a^2 എത്ര ?
(a)3        (b)6        (c )9       (d)7 ഉത്തരം  : (d ) a^2  1/a^2   = ( a  1/a )^2 - 2                     = (3)^2 - 2                     = 9 - 2 = 7

13.
a-1/a = 3 ആയാൽ a^21/a^2  എത്ര ?
(a)11         (b)6             (c )9           (d)7 ഉത്തരം  : (a) a^2  1/a^2 = (a - 1/a)^2 2                    = (3)^2 2  =92                    = 11

14.
a  1/a = 2 ആയാൽ a31/a^3 എത്ര ?
(a) 8            (b) 4             (c ) 2         (d) 6 ഉത്തരം: (c) A a^3  1/a^3  = (a 1/a)^3 - 3 (a  1/a)                     = (2)^3 - 3
*2
                   =  8 - 6 = 2

15.
a-1/a = 1ആയാൽ a^3 - 1/a^3 എത്ര ?
(a)1           (b)2             (c )3           (d)4 ഉത്തരം: (d) a^3 - 1/a^3   =(a - 1/a)^3  3 (a - 1/a)                     = (1)^3 3
*1
                    = 1 3 = 4

16.
a^2  1/a^2 = 3 ആയാൽ  a^41/a^4 എത്ര ?
(a)7             (b)9             (c )27            (d)64 ഉത്തരം: (a) a^41/a^4   = (a^2  1/a^2)^2  - 2                    = (3)^2 - 2                    =  9 - 2 = 7 

17.
(832  278)^2  (832 - 278)^2/832
* 832 278
* 278     = ?
(a) 4          (b)6           (c )8             (d)2 ഉത്തരം: (d) (ab)^2  (a-b)^2/ a^2  b^2 (832  278)^2  (832 -278)^2/832
*832  278
*278
2(832 ^2  278^2)/(832^2  278^2) = 2

പരിശീലന പ്രശ്നങ്ങൾ 


1.

5.72
*
5.72 -
2.28
*
2.28/
5.72 -
2.28
(a)
5.72         (b)
2.28         (c )8           (d)4

2.
(
3.39)^2  - (
1.31)^2      
3.39  -
1.61
(a)2          (b)5           (c )6           (d)8

3.
a-b =3ഉം  a^2b^2 = 29 ആയാൽ ab എത്ര ?
(a)15         (b)18           (c )6        (d)8

4.
(
0.96)^3 - (
0.1)^3/(
0.96)^
20.096(
0.1)^2 = ?
(a)
0.086        (b)
0.95       (c )
1.06           (d)
0.86

5.
() (- )=?
(a)8          (b)18       (c )10        (d)16

6.
( )^2 = ?
(a)4         (b)18         (c )10      (d)16

7.
രണ്ട് വർഗ്ഗസംഖ്യകളുടെ  തുക 15ഉം അവയുടെ ഗുണനഫലം  36ഉം ആയാൽ സംഖ്യകളുടെ വർഗ്ഗങ്ങളുടെ തുക എന്ത് ?
(a)153          (b)80          (c )50            (d)163

8.
a1/a = 5 ആയാൽ  a^2   1/a^2ന്റെ  വില എന്ത് ?
(a)17/4           (b)23            (c )626/25          (d)1

ഉത്തരങ്ങൾ

 

1.(c )              
2.(b)            
3.(d)            
4.(d)

5.(a)                
6.(b)            
7.(a)            
8.(b)


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sarvva samavaakyangal (identities)

soothravaakyangal 


1.(ab)^2  = a^2  b^2  2ab

2.(a-b)^2  = a^2b^2 - 2ab

3.(ab)^2-(a-b)^2 = 4ab

4.(ab)^2(a-b)^2 = 2 (a^2b^2)

5. A^2 - b^2 = (ab) (ab)

6. A^2  b^2 = ½[(ab)^2(a-b)^2]

7. 1/a  1/b = ab/ab

8.(ab)^3 = a^3 - 3a^2b3ab^2  b^3

9.(a-b)^3 = a^3 - 3a^2b3ab^2 - b^3

10.(ab)^3(a-b)^3=2a^3  6ab^2

11. A^3 b^3 = (ab) (a^2 - ab  b^2)

12. A^3 - b^3 = (a-b) (a^2abb^2)

13.(ab)^4 = a^44a^3b6a^2b^24ab^3b^4

14.(a-b)^4 = a^4-4a^3b6a^2b^2- 4ab^3b^4

15. A^41/a^4 = (a^2  1/a^2)^2 - 2

16. A^41/a^4 = (a^2 - 1/a^2)^2  2

17. A^31/a^3 = (a1/a)^3 -3(a1/a)

18. A^3 - 1/a^3 =(a-1/a)^3  3(a-1/a)

19. A^2  1/a^2 = (a  1/a)^2 -2

20. A^2  1/a^2 = (a - 1/a)^2 2

21. A (bc) = ab  ac

22.(ab) (cd) = ac  ad bcbd

23.(ab) (ac) = a^2  a (bc)bc

maathrukaachodyangal


1.
(2x3y)^2 ennathinte vipuleekaranatthil ethra padangal undaayirikkum ?
(a) 1               (b)2             (c )3              (d) 4  uttharam: (c ) (2x 3y)^2 = 4x^212xy 9y^2

2.
(2a-3b)2 ennathinte vipuleekaranatthil ab yude gunottharam ethra ? 
(a) 6          (b) -6         (c ) 12            (d) -12  uttharam: (d) (2a-3b)^2 = 4a2-12ab  ab2

3.
(x1)^2ne vipuleekarikkuka.
(a)x^2 1^2               (b)x^2  1 (c )x^2 - 2x 1            (d)x^22x  1 uttharam: (d) (ab)^2  = a^2  2ab  b^2 ... (x  1)^2 = x^2  2
*x
*11^2
=x^2  2x  1

4.
laghukarikkuka. 

3. 12 x
3. 12  
6. 24 x
6. 88  688 х
6. 88 
(a) 100         (b) 10         (c )
10. 10        (d)
100. 10 
uttharam: (a)  (
3. 12)^2  2 x
3. 12 x
6. 88  (
6. 88)^2 
=(312688)^2=(10)^2 = 100

5 .
a  b = 7,ab  = 5 aayaal  a^2  b^2 ethra ?
(a)49          (b)59        (c )39        (d)10 uttharam: (c)  (a b)^2 = a2b^2 2ab  (7)^2 =  a2  b2  2
* 5
49 = a2  b^2  10               a^2b^2 = 49 -10 = 39

6.
a^2 b^2 = 37, ab = 6 aayaal  abethra ?
(a) 49            (b)7              (c ) 5         (d)10      uttharam: (b)  (ab)^2 = a^2  b^22ab              = 37  2
*6
             = 37  12 (ab)^2 =  49

7.
ab =       = 7
uttharam: (c ) (ab)^2 = a^2b^2 2ab (12)^2 = 902ab 144 = 90 2ab 2ab = 144 - 90 2ab = 54 ab = 54/2 = 27

8.
( ) (- )  laghookarikkuka.
(a)2        (b)5       (c )3         (d) uttharam: (a)    (ab) (a-b) = a^2 - b^2 (  ) (- ) = )^2 - ()^2                                         = 5 - 3 = 2

9.
25
*25 - 15
*15 / (25  15 ) laghookarikkuka.
(a) 25         (b)15        (c )10       (d)20 uttharam: (c ) a^2 - b^2 /ab     = (ab) (a - b)/(a  b)                           = a -b                           = 25 - 15 = 10

10.
randu samkhyakalude thuka gunanaphalam aayaal samkhyakalude vyul kramangalude thuka ethra ?
(a)½           (b)⅔         (c )⅓              (d)¼ uttharam : (b) 1/a  1/b  = a  b/ab = 20/30 = ⅔

11.
laghookarikkuka.

2. 02
*
2. 02
*
2. 02-
0. 02 -
0. 02
*
0. 02
*
0. 02/
2. 02
*
2. 020. 02
*
2. 020. 02
*
0. 02
uttharam : (c ) a^3 - b^3/a^2  ab  b^2 = (a - b) (a^2 ab  b^2)/(a^2  ab  b^2) = a - b =
2. 02 -
0. 02  = 2

12.
a1/a = 3 aayaal a^2 1/a^2 ethra ?
(a)3        (b)6        (c )9       (d)7 uttharam  : (d ) a^2  1/a^2   = ( a  1/a )^2 - 2                     = (3)^2 - 2                     = 9 - 2 = 7

13.
a-1/a = 3 aayaal a^21/a^2  ethra ?
(a)11         (b)6             (c )9           (d)7 uttharam  : (a) a^2  1/a^2 = (a - 1/a)^2 2                    = (3)^2 2  =92                    = 11

14.
a  1/a = 2 aayaal a31/a^3 ethra ?
(a) 8            (b) 4             (c ) 2         (d) 6 uttharam: (c) a a^3  1/a^3  = (a 1/a)^3 - 3 (a  1/a)                     = (2)^3 - 3
*2
                   =  8 - 6 = 2

15.
a-1/a = 1aayaal a^3 - 1/a^3 ethra ?
(a)1           (b)2             (c )3           (d)4 uttharam: (d) a^3 - 1/a^3   =(a - 1/a)^3  3 (a - 1/a)                     = (1)^3 3
*1
                    = 1 3 = 4

16.
a^2  1/a^2 = 3 aayaal  a^41/a^4 ethra ?
(a)7             (b)9             (c )27            (d)64 uttharam: (a) a^41/a^4   = (a^2  1/a^2)^2  - 2                    = (3)^2 - 2                    =  9 - 2 = 7 

17.
(832  278)^2  (832 - 278)^2/832
* 832 278
* 278     = ?
(a) 4          (b)6           (c )8             (d)2 uttharam: (d) (ab)^2  (a-b)^2/ a^2  b^2 (832  278)^2  (832 -278)^2/832
*832  278
*278
2(832 ^2  278^2)/(832^2  278^2) = 2

parisheelana prashnangal 


1.

5. 72
*
5. 72 -
2. 28
*
2. 28/
5. 72 -
2. 28
(a)
5. 72         (b)
2. 28         (c )8           (d)4

2.
(
3. 39)^2  - (
1. 31)^2      
3. 39  -
1. 61
(a)2          (b)5           (c )6           (d)8

3.
a-b =3um  a^2b^2 = 29 aayaal ab ethra ?
(a)15         (b)18           (c )6        (d)8

4.
(
0. 96)^3 - (
0. 1)^3/(
0. 96)^
20. 096(
0. 1)^2 = ?
(a)
0. 086        (b)
0. 95       (c )
1. 06           (d)
0. 86

5.
() (- )=?
(a)8          (b)18       (c )10        (d)16

6.
( )^2 = ?
(a)4         (b)18         (c )10      (d)16

7.
randu varggasamkhyakalude  thuka 15um avayude gunanaphalam  36um aayaal samkhyakalude varggangalude thuka enthu ?
(a)153          (b)80          (c )50            (d)163

8.
a1/a = 5 aayaal  a^2   1/a^2nte  vila enthu ?
(a)17/4           (b)23            (c )626/25          (d)1

uttharangal

 

1.(c )              
2.(b)            
3.(d)            
4.(d)

5.(a)                
6.(b)            
7.(a)            
8.(b)
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